النهايات والاتصال
١
قيمة limx→2 (x² − 4) / (x − 2) تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
نلاحظ أن المقام = صفر عند x = 2، لذا نحلّل البسط:
(x² − 4) = (x − 2)(x + 2)
بعد الحذف يبقى: (x + 2)
∴ limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = ٤
(x² − 4) = (x − 2)(x + 2)
بعد الحذف يبقى: (x + 2)
∴ limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = ٤
٢
limx→∞ (3x² + 5) / (x² − 1) تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
نقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x وهي x²:
(3 + 5/x²) / (1 − 1/x²)
عند x → ∞: الحدود المحتوية على x تصبح صفراً
∴ النهاية = 3
(3 + 5/x²) / (1 − 1/x²)
عند x → ∞: الحدود المحتوية على x تصبح صفراً
∴ النهاية = 3
٣
الدالة f(x) = (x² − 9) / (x − 3) متصلة عند x = 3 إذا عرّفنا f(3) بـ:
🔍 الشرح والتصحيح
حتى تكون الدالة متصلة عند x = 3 يجب أن: f(3) = limx→3 f(x)
نحلّل: (x² − 9) = (x − 3)(x + 3)
limx→3 (x + 3) = 3 + 3 = 6
∴ يجب أن f(3) = ٦
نحلّل: (x² − 9) = (x − 3)(x + 3)
limx→3 (x + 3) = 3 + 3 = 6
∴ يجب أن f(3) = ٦
حساب المشتقات
٤
إذا كانت f(x) = x³ − 3x² + 2x − 5 فإن f′(2) تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
f′(x) = 3x² − 6x + 2
نعوّض x = 2:
f′(2) = 3(4) − 6(2) + 2 = 12 − 12 + 2 = ٢
نعوّض x = 2:
f′(2) = 3(4) − 6(2) + 2 = 12 − 12 + 2 = ٢
٥
مشتق الدالة f(x) = sin(3x) هو:
🔍 الشرح والتصحيح
نستخدم قاعدة السلسلة: d/dx [sin(u)] = cos(u) · u′
هنا u = 3x ∴ u′ = 3
∴ f′(x) = 3cos(3x)
هنا u = 3x ∴ u′ = 3
∴ f′(x) = 3cos(3x)
٦
إذا كانت y = e2x، فإن dy/dx تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
d/dx [eu] = eu · u′
هنا u = 2x ∴ u′ = 2
∴ dy/dx = 2e2x
هنا u = 2x ∴ u′ = 2
∴ dy/dx = 2e2x
٧
المماس للمنحنى y = x² + 1 عند النقطة (1، 2) يكوّن مع محور السينات زاوية ميلها:
🔍 الشرح والتصحيح
ميل المماس = قيمة المشتق عند نقطة التماس
y′ = 2x
عند x = 1: y′(1) = 2(1) = ٢
y′ = 2x
عند x = 1: y′(1) = 2(1) = ٢
التكامل
٨
∫ (3x² + 2x) dx تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
∫ 3x² dx = x³ (لأن مشتق x³ = 3x²)
∫ 2x dx = x² (لأن مشتق x² = 2x)
∴ الناتج = x³ + x² + c
∫ 2x dx = x² (لأن مشتق x² = 2x)
∴ الناتج = x³ + x² + c
٩
قيمة التكامل المحدد ∫₀² (2x + 1) dx تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
∫ (2x + 1) dx = [x² + x]
عند x = 2: (4 + 2) = 6
عند x = 0: (0 + 0) = 0
∴ الناتج = 6 − 0 = ٦
عند x = 2: (4 + 2) = 6
عند x = 0: (0 + 0) = 0
∴ الناتج = 6 − 0 = ٦
١٠
∫ sin(x) dx تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
نتذكر قاعدة التكامل: d/dx [−cos x] = sin x
∴ ∫ sin x dx = −cos(x) + c
∴ ∫ sin x dx = −cos(x) + c
الأعداد المركبة
١١
إذا كان z = 3 + 4i، فإن المعامل |z| يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
المعامل (القيمة المطلقة) للعدد المركب z = a + bi:
|z| = √(a² + b²)
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = ٥
|z| = √(a² + b²)
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = ٥
١٢
قيمة i⁴ تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
قوى i تتكرر كل 4 مراحل:
i¹ = i | i² = −1 | i³ = −i | i⁴ = ١
وهكذا تتكرر: i⁵ = i وهكذا ...
i¹ = i | i² = −1 | i³ = −i | i⁴ = ١
وهكذا تتكرر: i⁵ = i وهكذا ...
١٣
حاصل ضرب (2 + 3i)(2 − 3i) يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
يستخدم الفرق بين مربعين: (a + b)(a − b) = a² − b²
= (2)² − (3i)² = 4 − 9i² = 4 − 9(−1) = 4 + 9 = ١٣
✳️ تذكر: i² = −1
= (2)² − (3i)² = 4 − 9i² = 4 − 9(−1) = 4 + 9 = ١٣
✳️ تذكر: i² = −1
المصفوفات والمحددات
١٤
محدد المصفوفة
A = [[2, 1], [3, 2]]
(أي det A) يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
للمصفوفة 2×2: det [[a, b],[c, d]] = ad − bc
det A = (2)(2) − (1)(3) = 4 − 3 = ١
det A = (2)(2) − (1)(3) = 4 − 3 = ١
١٥
محدد المصفوفة [[3, -1], [2, 4]] يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
det = (3)(4) − (−1)(2) = 12 − (−2) = 12 + 2 = ١٤
انتبه لإشارة السالب: − (−1)(2) = +2
انتبه لإشارة السالب: − (−1)(2) = +2
المتتاليات الحسابية والهندسية
١٦
المتتالية الحسابية: 2، 5، 8، 11، ... الحدّ العاشر منها:
🔍 الشرح والتصحيح
a₁ = 2، الأساس d = 3
aₙ = a₁ + (n − 1) d
a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 2 + 27 = ٢٩
aₙ = a₁ + (n − 1) d
a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 2 + 27 = ٢٩
١٧
المتتالية الهندسية: 3، 6، 12، 24، ... الحدّ السابع منها:
🔍 الشرح والتصحيح
a₁ = 3، الأساس r = 2
aₙ = a₁ × r^(n−1)
a₇ = 3 × 2⁶ = 3 × 64 = ١٩٢
aₙ = a₁ × r^(n−1)
a₇ = 3 × 2⁶ = 3 × 64 = ١٩٢
الإحصاء والاحتمالات
١٨
كيس يحتوي على 5 كرات حمراء و3 كرات زرقاء. ما احتمال سحب كرة زرقاء عشوائياً؟
🔍 الشرح والتصحيح
إجمالي الكرات = 5 + 3 = 8
عدد الكرات الزرقاء = 3
P(زرقاء) = 3/8 ≈ 0.375
عدد الكرات الزرقاء = 3
P(زرقاء) = 3/8 ≈ 0.375
١٩
المتوسط الحسابي للأعداد: 4، 7، 10، 13، 16 يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
المتوسط = مجموع الأعداد ÷ عددها
المجموع = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 50
المتوسط = 50 ÷ 5 = ١٠
المجموع = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 50
المتوسط = 50 ÷ 5 = ١٠
الهندسة التحليلية
٢٠
المسافة بين النقطتين A(1، 2) وB(4، 6) تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
= √[(4−1)² + (6−2)²] = √[9 + 16] = √25 = ٥
= √[(4−1)² + (6−2)²] = √[9 + 16] = √25 = ٥
٢١
معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 5 هي:
🔍 الشرح والتصحيح
معادلة الدائرة التي مركزها الأصل: x² + y² = r²
r = 5 ⟹ r² = 25
∴ المعادلة: x² + y² = 25
r = 5 ⟹ r² = 25
∴ المعادلة: x² + y² = 25
٢٢
معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة (2، 3) وميله 4 هي:
🔍 الشرح والتصحيح
معادلة المستقيم: y − y₁ = m(x − x₁)
y − 3 = 4(x − 2)
y − 3 = 4x − 8
∴ y = 4x − 5
y − 3 = 4(x − 2)
y − 3 = 4x − 8
∴ y = 4x − 5
حساب المثلثات
٢٣
قيمة sin(30°) تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
من القيم المثلثية المهمة:
sin(30°) = 1/2
تذكر القيم: sin(30°) = 1/2, sin(60°) = √3/2, sin(45°) = √2/2
sin(30°) = 1/2
تذكر القيم: sin(30°) = 1/2, sin(60°) = √3/2, sin(45°) = √2/2
٢٤
قيمة cos(60°) تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
cos(60°) = 1/2
لاحظ أن: cos(60°) = sin(30°) = 1/2 لأنهما متكاملتان
لاحظ أن: cos(60°) = sin(30°) = 1/2 لأنهما متكاملتان
٢٥
قيمة tan(45°) تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
tan(45°) = 1
لأن: tan θ = sin θ / cos θ = (√2/2) / (√2/2) = 1
لأن: tan θ = sin θ / cos θ = (√2/2) / (√2/2) = 1
٢٦
إذا كان sin θ = 3/5 و θ زاوية حادة، فإن cos θ تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
نستخدم الخاصية: sin² θ + cos² θ = 1
(3/5)² + cos² θ = 1
9/25 + cos² θ = 1
cos² θ = 16/25
∴ cos θ = 4/5 (موجب لأن θ حادة)
(3/5)² + cos² θ = 1
9/25 + cos² θ = 1
cos² θ = 16/25
∴ cos θ = 4/5 (موجب لأن θ حادة)
تطبيقات المشتقات (القيم العليا والدنيا)
٢٧
للدالة f(x) = x² − 4x + 5، النقطة التي عندها قيمة دنيا (نقطة تحول) هي:
🔍 الشرح والتصحيح
f′(x) = 2x − 4
عند القيمة الدنيا: f′(x) = 0
2x − 4 = 0 ⟹ x = 2
f(2) = 4 − 8 + 5 = 1
∴ النقطة = (2, 1)
عند القيمة الدنيا: f′(x) = 0
2x − 4 = 0 ⟹ x = 2
f(2) = 4 − 8 + 5 = 1
∴ النقطة = (2, 1)
٢٨
الدالة f(x) = x³ − 3x متزايدة على:
🔍 الشرح والتصحيح
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x−1)(x+1)
الدالة متزايدة عندما f′(x) > 0
∴ (−∞, −1) و(1, ∞)
الدالة متزايدة عندما f′(x) > 0
∴ (−∞, −1) و(1, ∞)
حل المعادلات والمتباينات
٢٩
حل المعادلة |x − 2| = 3 هو:
🔍 الشرح والتصحيح
|x − 2| = 3 يعني: x − 2 = 3 أو x − 2 = −3
الحالة الأولى: x − 2 = 3 ⟹ x = 5
الحالة الثانية: x − 2 = −3 ⟹ x = −1
الحالة الأولى: x − 2 = 3 ⟹ x = 5
الحالة الثانية: x − 2 = −3 ⟹ x = −1
٣٠
حل المتباينة 2x + 3 > 7 هو:
🔍 الشرح والتصحيح
2x + 3 > 7
2x > 4
∴ x > 2
2x > 4
∴ x > 2
٣١
حل المعادلة x² − 5x + 6 = 0 هو:
🔍 الشرح والتصحيح
نحلل: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
∴ x = 2 أو x = 3
تحقق: 2² − 5(2) + 6 = 0 ✓
∴ x = 2 أو x = 3
تحقق: 2² − 5(2) + 6 = 0 ✓
٣٢
عدد جذور المعادلة x² + 4x + 5 = 0 هو:
🔍 الشرح والتصحيح
نحسب المميز (Δ) = b² − 4ac
Δ = 16 − 4(1)(5) = 16 − 20 = −4 < 0
عندما Δ < 0: لا توجد جذور حقيقية
Δ = 16 − 4(1)(5) = 16 − 20 = −4 < 0
عندما Δ < 0: لا توجد جذور حقيقية
المتسلسلات الحسابية والهندسية
٣٣
مجموع أول 10 حدود من المتسلسلة الحسابية: 1 + 3 + 5 + 7 + ... يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
a₁ = 1, d = 2, n = 10
الحد العاشر: a₁₀ = 1 + 9(2) = 19
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
S₁₀ = 10(1 + 19)/2 = 10(20)/2 = ١٠٠
الحد العاشر: a₁₀ = 1 + 9(2) = 19
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
S₁₀ = 10(1 + 19)/2 = 10(20)/2 = ١٠٠
٣٤
مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
a = 1, r = 1/2 (حيث |r| < 1 تتقارب)
S = a / (1 − r)
S = 1 / (1 − 1/2) = 1 / (1/2) = ٢
S = a / (1 − r)
S = 1 / (1 − 1/2) = 1 / (1/2) = ٢
الدوال اللوغاريتمية والأسية
٣٥
حل المعادلة 2^x = 8 هو:
🔍 الشرح والتصحيح
2^x = 8
2^x = 2³ (لأن 8 = 2³)
بمساواة الأسس: ∴ x = ٣
2^x = 2³ (لأن 8 = 2³)
بمساواة الأسس: ∴ x = ٣
٣٦
قيمة log₁₀ 1000 تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
log₁₀ 1000 = x يعني: 10^x = 1000
10^x = 10³ (لأن 1000 = 10³)
∴ x = ٣
10^x = 10³ (لأن 1000 = 10³)
∴ x = ٣
أسئلة مشتركة وتقييمية إضافية
٣٧
مشتق الدالة f(x) = ln(x²) هو:
🔍 الشرح والتصحيح
f(x) = ln(x²) = 2ln(x) (بخاصية اللوغاريتم)
f′(x) = 2 · (1/x) = 2/x
f′(x) = 2 · (1/x) = 2/x
٣٨
إذا كانت A = [[1, 2], [3, 4]] و B = [[5, 6], [7, 8]]، فإن 2A يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
ضرب المصفوفة بعدد (scalar multiplication):
2A = 2 × [[1, 2], [3, 4]] = [[2×1, 2×2], [2×3, 2×4]]
= [[2, 4], [6, 8]]
2A = 2 × [[1, 2], [3, 4]] = [[2×1, 2×2], [2×3, 2×4]]
= [[2, 4], [6, 8]]
٣٩
الناتج الكلي لـ ∫₀¹ (x² + x) dx يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
∫(x² + x) dx = [x³/3 + x²/2]
عند x=1: 1/3 + 1/2 = 5/6
عند x=0: 0
الناتج = 5/6
عند x=1: 1/3 + 1/2 = 5/6
عند x=0: 0
الناتج = 5/6
٤٠
الشكل الأساسي للعدد المركب z = (1 + i)² هو:
🔍 الشرح والتصحيح
(1 + i)² = 1 + 2i + i²
= 1 + 2i + (−1)
= 1 − 1 + 2i
= 2i
= 1 + 2i + (−1)
= 1 − 1 + 2i
= 2i
٤١
قيمة C(5,2) (التوافيق) تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
C(n,r) = n! / (r!(n−r)!)
C(5,2) = 5! / (2! × 3!) = (5×4) / (2×1) = 20/2 = ١٠
C(5,2) = 5! / (2! × 3!) = (5×4) / (2×1) = 20/2 = ١٠
٤٢
عدد طرق ترتيب 3 أشياء من 5 أشياء (التباديل P) يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
P(n,r) = n! / (n−r)!
P(5,3) = 5! / 2! = 120 / 2 = ٦٠
P(5,3) = 5! / 2! = 120 / 2 = ٦٠
٤٣
الانحراف المعياري للقيم: 2, 4, 6, 8, 10 يساوي تقريباً:
🔍 الشرح والتصحيح
المتوسط = (2+4+6+8+10)/5 = 6
الانحرافات: (−4, −2, 0, 2, 4)
الانحراف المعياري = √[(16+4+0+4+16)/5] = √(40/5) = √8 ≈ 2.83
الانحرافات: (−4, −2, 0, 2, 4)
الانحراف المعياري = √[(16+4+0+4+16)/5] = √(40/5) = √8 ≈ 2.83
٤٤
إذا كانت A و B حدثين مستقلين و P(A) = 1/3 و P(B) = 1/2، فإن P(A∩B) تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
للحدثين المستقلين: P(A∩B) = P(A) × P(B)
P(A∩B) = (1/3) × (1/2) = 1/6
P(A∩B) = (1/3) × (1/2) = 1/6
٤٥
الحد الأول والنسبة المشتركة للمتتالية الهندسية: 2, 6, 18, ... هما:
🔍 الشرح والتصحيح
الحد الأول: a₁ = 2
النسبة المشتركة: r = 6/2 = 3
تحقق: a₂ = 2×3 = 6 ✓, a₃ = 6×3 = 18 ✓
النسبة المشتركة: r = 6/2 = 3
تحقق: a₂ = 2×3 = 6 ✓, a₃ = 6×3 = 18 ✓
٤٦
معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتين (−1, 0) و(0, 2) هي:
🔍 الشرح والتصحيح
الميل m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) = (2−0)/(0−(−1)) = 2/1 = 2
معادلة المستقيم: y = mx + b
عند النقطة (0, 2): 2 = 2(0) + b ⟹ b = 2
∴ y = 2x + 2
معادلة المستقيم: y = mx + b
عند النقطة (0, 2): 2 = 2(0) + b ⟹ b = 2
∴ y = 2x + 2
٤٧
محيط دائرة نصف قطرها 5 cm يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
محيط الدائرة: C = 2πr
C = 2π(5) = 10π cm
C = 2π(5) = 10π cm
٤٨
مساحة مثلث طول قاعدته 6 cm وارتفاعه 8 cm تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
مساحة المثلث: A = (1/2) × القاعدة × الارتفاع
A = (1/2) × 6 × 8 = (1/2) × 48 = ٢٤ cm²
A = (1/2) × 6 × 8 = (1/2) × 48 = ٢٤ cm²
٤٩
إذا كان sin θ = cos θ و θ زاوية حادة، فإن θ تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
sin θ = cos θ
sin θ / cos θ = 1
tan θ = 1
∴ θ = 45°
sin θ / cos θ = 1
tan θ = 1
∴ θ = 45°
٥٠
العدد (−1)^n يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
(−1)¹ = −1
(−1)² = 1
(−1)³ = −1
(−1)⁴ = 1
النمط: إذا كانت n زوجية فالناتج 1، وإذا كانت فردية فالناتج −1
(−1)² = 1
(−1)³ = −1
(−1)⁴ = 1
النمط: إذا كانت n زوجية فالناتج 1، وإذا كانت فردية فالناتج −1
٥١
مشتق f(x) = (x² + 1)³ هو:
🔍 الشرح والتصحيح
نستخدم قاعدة السلسلة: [u³]′ = 3u² · u′
u = x² + 1 ⟹ u′ = 2x
f′(x) = 3(x² + 1)² × 2x = 6x(x² + 1)²
u = x² + 1 ⟹ u′ = 2x
f′(x) = 3(x² + 1)² × 2x = 6x(x² + 1)²
٥٢
قيمة ∫ e^x dx تساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
الدالة e^x لها خاصية فريدة:
d/dx [e^x] = e^x
∴ ∫ e^x dx = e^x + c
d/dx [e^x] = e^x
∴ ∫ e^x dx = e^x + c
٥٣
حاصل ضرب المصفوفات [[2, 3]]₁ₓ₂ × [[1], [2]]₂ₓ₁ يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
[2 3] × [[1], [2]] = (2×1) + (3×2) = 2 + 6 = ٨
النتيجة عدد واحد (مصفوفة 1×1)
النتيجة عدد واحد (مصفوفة 1×1)
٥٤
إذا كانت z = 2 − 3i، فإن المرافق z̄ يساوي:
🔍 الشرح والتصحيح
المرافق (conjugate) للعدد المركب a + bi هو a − bi
مرافق 2 − 3i = 2 + 3i
(نعكس إشارة الجزء التخيلي فقط)
مرافق 2 − 3i = 2 + 3i
(نعكس إشارة الجزء التخيلي فقط)
٥٥
قيمة الحد النوني في المتتالية الحسابية: −3, −1, 1, 3, ... هو:
🔍 الشرح والتصحيح
a₁ = −3, d = 2
الصيغة العامة: aₙ = a₁ + (n−1)d
aₙ = −3 + (n−1)·2 = −3 + 2n − 2 = 2n − 5
الصيغة العامة: aₙ = a₁ + (n−1)d
aₙ = −3 + (n−1)·2 = −3 + 2n − 2 = 2n − 5
٥٦
احتمال الحصول على رقم زوجي عند رمي نرد واحد هو:
🔍 الشرح والتصحيح
أوجه النرد الزوجية: 2, 4, 6 (ثلاثة أوجه)
إجمالي الأوجه: 6
P(زوجي) = 3/6 = 1/2
إجمالي الأوجه: 6
P(زوجي) = 3/6 = 1/2
⚠️ لم تجب على جميع الأسئلة بعد — تبقّى سؤال
نتيجتك النهائية
0
من 56
0
✅ إجابات صحيحة
0
❌ إجابات خاطئة
0%
📊 النسبة المئوية